Mathématiques chinoises traditionnelles et mathématiques occidentales
Le mot mathématique vient du grec ancien
μαθηματικός (mathematikos) issu du mot latin μάθημα (máthēma) qui signifie
« science, connaissance » puis « études mathématiques » dans un sens
relativement étroit et technique. L'adjectif μαθηματικός (mathematikos)
signifie d'abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences
mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans
les langues romanes par la suite (« mathématique » en français). La forme
neutre de l'adjectif μαθηματικός a été substantivée en τα μαθηματικά (ta
mathēmatiká) pour désigner les sciences mathématiques dans leur ensemble.
Cette forme plurielle, utilisée par Aristote, explique l'usage du pluriel
pour le substantif en latin chez Cicéron (mathematica) puis en français.
Elle se réfère au concept général « de toutes choses comptables », dont
l’intention initiale est le nombre et le comptage. {source :wikipedia}
Pour notre part, nous allons considérer les mathématiques au sens de «
science, connaissance » de l’univers, sans rentrer dans les aspects «
comptables ».
En effet, selon la compréhension actuelle des mathématiques occidentales,
les mathématiques sont la science qui établit la relation entre les
nombres et la forme spatiale du monde réel. Dit simplement, c’est l'étude
de la science de la forme et des nombres. L'étude commence toujours par un
système axiomatique. Dans la logique aristotélicienne, un axiome est le
point de départ d'un raisonnement considéré comme non démontrable, évident
car il provient d’observations. Du fait de la vie et du travail, quelque
soit le pays, on a su utiliser les doigts ou un comptage physique pour
développer le comptage numérique.
Les connaissances en mathématiques de base proviennent d’une utilisation
individuelle et communautaire essentielle à la vie. L’histoire des
mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses
régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale.
L’ouvrage « les Neuf Chapitres sur l'art mathématique (九章算術 ou 九章算术 -
Jiǔzhāng Suànshù) » est un livre anonyme compilé entre le deuxième siècle
av. J.-C. et le premier siècle av. J.-C. C’est un des livres de
mathématiques chinoises ayant eu la plus grande influence, il est composé
de 246 problèmes répartis en neuf chapitres : arpentage, agriculture,
association d'intérêts, ingénierie, impôts, calculs divers, solution
d'équations, propriétés des triangles rectangles. Le chapitre huit en
particulier se consacre à la résolution de systèmes d'équations linéaires,
utilisant des nombres positifs ou négatifs, le dernier problème étudiant
un système de quatre équations à cinq inconnues ; on trouve dans ce
chapitre des indications de la méthode d'élimination de Gauss et de la
règle de Cramer. 
Jusqu'au XVIIe siècle, le développement des connaissances mathématiques
s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du
globe. À partir du XIXe et surtout au XXe siècle, le foisonnement des
travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent à
divers domaines mathématiques.
Les mathématiques sont utilisées notamment en science, dans l'ingénierie,
la médecine et l'économie, etc. Les mathématiques dans ces domaines sont
généralement appelés mathématiques appliquées, parfois pouvant amener à de
nouvelles découvertes, et conduire à l'élaboration de nouveaux sujets
d’études. Les études de mathématiques pures ne trouvent pas tout le temps
d'applications, même si on peut en rencontrer souvent après.
L'école booléenne, fondée dans les années 1930 en France par George Boole,
pense : « les mathématiques, au moins les mathématiques pures, sont
l'étude de la théorie de la structure abstraite. »
La structure est le concept initial et le système déduit des axiomes.
L’école Booléenne pense qu’il y a trois types basiques de structure
abstraite : la structure algébrique (groupe, anneau, domaine ...), la
structure séquentielle (d'ordre partiel, total ...), la structure
topologique (voisinage, limite, connectivité, dimension ...). Les
mathématiques sont une sorte de transformateur, un modèle abstrait, et un
système de signes, où le monde réel est converti en modèle mathématique.
En utilisant le langage mathématique, on pourra décrire, après
éventuellement des opérations dites mathématiques, des résultats qui en
retour pourront expliquer des phénomènes d’un monde scientifique
spécifique réel.
Axiomes vs philosophie
La logique de base en mathématiques occidentales est que l'être humain est
tout, que l’observation qu’il fait du monde établit un système d'axiomes
qui rend compte des opérations de la nature définies par des hypothèses
humaines. « Nous rendre comme maîtres et possesseurs de la nature »
[Discours de la méthode - René Descartes en 1637].
Mais la philosophie traditionnelle chinoise pense de façon constante
depuis des millénaires que les humains sont petits (microcosme), qu’ils ne
peuvent donc pas établir de règles sur le fonctionnement de la nature
(macrocosme) selon des règles de fonctionnement définies par une hypothèse
humaine. Face à la nature et dans son observation, les seules choses que
peut faire l'homme est de demander la conduite à tenir pour son
développement avec la nature. « L’homme appartient à la nature et
doit s’y conformer ».
En d'autres termes, les mathématiques occidentales pensent que l'objet
mathématique de l'étude est un système simple, qui peut être observé pour
établir un système d'axiomes, et l'analyser de façon logique. Le système
est simple car il peut laisser place à la supposition et à l’hypothèse.
Mais les mathématiques chinoises traditionnelles pensent que l'objet de
l'étude mathématique est un système complexe, que l’homme ne peut pas
faire d’hypothèse spécifique sur l’objet de sa recherche, que l'homme ne
peut qu’éclaircir, en tant qu’objet général d'étude (sans modèle), quel
genre d’analyse de structure logique peut atteindre l’homme dans sa
compréhension de certaines relations faisant l'objet de la recherche.
C’est parce qu’un système complexe ne peut être présumé (et donc faire
l’objet d’hypothèses).
Autrement dit : les mathématiques occidentales examinent directement
l'objet de la recherche par l'observation directe, mais les mathématiques
traditionnelles chinoises étudient l’objet à travers ses relations par
l'analyse indirecte.
Les mathématiques chinoises
Les mathématiques occidentales ont été introduites en Chine à la fin du
XIXe siècle. Le mot «mathématiques» à d'abord été directement traduit par
«arithmétique (算术suànshù) », puis on a dit « apprendre l'arithmétique (算
学suànxué) », puis en «mathématiques (数学shùxué) ». Mais les anciens Chinois
il y a 3000 ans utilisaient selon ce concept le mot «Gua (卦) » pour la
Forme, le mot « Xiang (象) » pour le Nombre. Le terme «Gua (卦) » est
traduit par trigramme ou hexagramme tiré du Yi Jing 易经 (livre des
changements). Le terme « Xiang (象) » signifie à la fois apparence, image
et éléphant. Ce terme est bien connu de nos lecteurs !
Le Bāguà (八卦) est un terme chinois signifiant « huit (Bā) figures de
divination (guà)». C'est un concept philosophique fondamental de la Chine
ancienne utilisé dans le Taoïsme et le Yi Jing, mais aussi dans d'autres
domaines de la culture chinoise tels que le fengshui, les arts martiaux,
ou la navigation.
Dans le Yi Jing (易经), ce concept «mathématique (数 学 - shùxué) » est défini
comme «mathématique imagée (象 数 学 - xiàngshùxué) » {En divination, les
chiffres donnés par la carapace de tortue et les nombres donnés par
l’achillée millefeuille.} Cela fait partie de la mathématique
traditionnelle chinoise (MathTC). Cet article concerne principalement le
contenu mathématique dans MathTC, ou les mathématiques imagées en tant que
MathTC. La mathématique imagée comprend généralement deux contenus : les
hexagrammes ou trigrammes (« Gua (卦) ») et les images (« Xiang (象) »).
Les hexagrammes (« Gua (卦) ») ne sont que les symboles mathématiques, sans
dimension tant que l'être humain ne lui a pas donné de définition. En
général, l'objet de la recherche dans le système complexe est indépendant
de la définition humaine.
L'image (« Xiang (象) ») est le moyen de l'étude ou la méthode de calcul
pour certains indices mathématiques afin de connaître l'existence
objective de la correction d'un état. La manière ou la méthode de calcul
pour certains indices mathématiques est indépendante du système complexe
et l’homme applique certaines méthodes de fonctionnement uniquement afin
d'étudier les relations qui existent dans le système complexe.
Les anciens parlent de «mathématiques» en chinois comme le moyen de faire
fonctionner (intervention et contrôle) un système complexe à travers
l'analyse de l'utilisation des hexagrammes (« Gua (卦) ») et des images («
Xiang (象) »).
Les trigrammes furent conçus comme les images de ce qui se passe dans la
nature (le ciel et la terre), transformation incessante des phénomènes qui
passent constamment d'une forme à une autre. Les huit trigrammes ne sont
pas les figures des choses, mais celles des tendances de leur mouvement.
Par exemple, l'éveilleur ☳ 震 Zhen, dont l'image est le tonnerre, est
symbolisé par le dragon qui, sortant de la profondeur, s'élève dans le
ciel d'orage, correspondant à l'unique trait fort qui, placé sous deux
traits faibles, exerce une poussée vers le haut. Le doux, le pénétrant ☴ 巽
Xun a pour attribut le coq, gardien du temps, dont la voix déchire le
calme, se propageant comme le vent, image du doux.
Les différences
Ce que nous venons d’expliquer ici et ce que nous comprenons maintenant
des mathématiques modernes sont des choses complètement différentes. En
d'autres termes, dans les mathématiques imagées traditionnelles chinoises
(MathTC), intervenir sur et contrôler un dispositif naturel est considéré
comme un système complexe. C’est parce que faire fonctionner un dispositif
naturel est difficile et complexe qu’il faut considérer qu’il y a une
relation « amoureuse » (engendrement), une relation de « mise à mort »
(contrôle) et une relation d’équivalence entre les nombreux systèmes
axiomatiques. Les relations aimer et tuer sont des relations
non-compatibles, ce qui peut faire que l'énergie globale du système est
plus ou moins la somme de chaque énergie des parties du système dans des
conditions rarement équilibrées. Les mathématiques signifient donc de
gérer ou contrôler ou intervenir sur un système complexe à travers
l'analyse de l'utilisation des hexagrammes (« Gua (卦) ») et des images («
Xiang (象)»), et ainsi de suite. L'objectif est le développement harmonieux
et durable du système complexe de telle sorte que le système complexe ne
s’emballe pas exagérément dans une expansion incontrôlée. D’une manière
générale, une intervention impliquant un tiers extérieur n’est pas nécessaire
puisque le système est complexe.
Mathématiques occidentales
Mais, en mathématiques occidentales, les mathématiques signifient d'abord
l'observation pour établir par inférence mathématique un système
axiomatique. Tant l'obtention que l'inférence par raisonnement sont jugées
comme un système simple, parce que toutes les conclusions et définitions
sont compatibles avec le système axiomatique. Par rapport au système
axiomatique, cela est vrai et faux. La méthode d'analyse mathématique
majeure est de juger vrai ou faux à partir de simples hypothèses ou d’un
modèle simple. C’est parce qu’on obtient la relation vraie et fausse d'un
système axiomatique que c’est facile et simple parce qu’il n'y a qu'une
relation de compatibilité ou une relation équivalente généralisée sous une
hypothèse du système axiomatique. La relation de compatibilité ou de
relation équivalente généralisée peuvent composer toute l'énergie du
système égale à la somme de l’énergie de chaque partie du système. Ainsi,
pour obtenir ou analyser sous une hypothèse axiomatique, c’est composer un
système simple de développement expansif. Par conséquent, poursuivre
l'objectif c’est obtenir ou analyser afin d’organiser le système simple
vers l'expansion. D'une manière générale, les différents modèles
hypothétiques impliquent l’intervention de tiers (externes au
système). Ce phénomène dans les mathématiques imagées de MathTC n’est pas
autorisé car un système complexe ne peut être présumé. Les deux vrai et
faux ne peuvent être jugés si le système axiomatique n'a pas été présumé.
Les mathématiques occidentales en utilisant des hypothèses simples ou des
modèles simples traitent les systèmes complexes d’un point de vue
microscopique, en détruisant toujours l'équilibre du système complexe
original, et sans tenir compte de l’équilibre bénéfique de « l'immunité »
du système complexe, i.e. son autorégulation face aux déséquilibres
internes et externes. La méthode d'intervention mathématique occidentale
peut produire un déséquilibre du système complexe, avec des effets
secondaires importants. Utiliser excessivement des méthodes d'intervention
sur un système complexe peut facilement produire la paralysie de
l'immunité du système complexe, d’où le débat typiquement occidental entre
les différentes écoles mathématiques qui défendent nombre de systèmes
axiomatiques trouvés dans la nature et autant de paroisses. Utiliser une
méthode d'intervention mathématique dans un système complexe avec une
vision trop étroite peut facilement produire de la résistance à la dite
intervention.
Mathématiques chinoises
Les mathématiques imagées de MathTC étudient le monde du point de vue
macroscopique, et son objectif est de maintenir l'équilibre initial du
système complexe en vue de renforcer son immunité (l’immunité regroupe
l'ensemble des processus et des mécanismes de défense mise en œuvre par un
système pour lutter contre un déséquilibre externe imposé). Les
mathématiques imagées estiment que chaque intervention (faite par un
second élément externe) a un tiers de mauvais, et n’encouragent donc pas cette
intervention sur un long terme. Le moyen idéal est Wu Wei Er Wu Bu Wei (无为
而 无不 为) - en ne faisant rien, tout est fait. Les mathématiques imagées ont
une histoire de plus de 5000 ans. Elles n’ont presque aucun effet
secondaire ou problème de résistance à l'intervention.
Après une longue période de pratique, les anciens scientifiques ont
utilisé largement la théorie « Yin Yang Wu Xing » dans les mathématiques
imagées pour expliquer l'origine du système complexe, la loi du système
complexe, les changements, le diagnostic, la prévention, l’autoprotection
et l’intervention. C’est devenu une partie importante des mathématiques
imagées. La théorie « Yin Yang Wu Xing » a une forte influence sur la
formation et le développement de la théorie mathématique traditionnelle
chinoise.
Comme il est connu de tous, la Chine au cours des dernières décennies, son
économie et le travail mathématique connexe ont fait de grands progrès de
développement. Sa raison est difficile à lier uniquement à l'introduction
des mathématiques occidentales, mais surtout au fait que dans la culture
traditionnelle chinoise les mathématiques jouent un rôle dans toutes
sortes de décision. Ses nombreuses méthodes mathématiques proviennent pour
partie de la médecine traditionnelle chinoise car le corps humain et les
objets de recherche des mathématiques imagées sont tous des systèmes
complexes. Mais, de nombreux chercheurs chinois et étrangers ont encore
quelques questions sur le raisonnement des mathématiques imagées, tels que
celles appliquées à la médecine traditionnelle chinoise.
Brève présentation des mathématiques imagées introduites par un concept d'analyse mathématique et logique.
Les théories de Zhang Yingshan (de l’école des finances et statistiques de
l’université de Chine de l’Est à Shanghai), la théorie des matrices
multilatérales et la théorie du système multilatéral, ont donné une
nouvelle et forte méthode de raisonnement mathématique de macro-analyse
(global) et de micro-analyse (locale). Lui et ses collègues ont fait des
modèles et des méthodes de raisonnement mathématiques, qui rendent le
raisonnement des mathématiques imagées possible sur la base des théories «
Yin Yang Wu Xing ». (Yin/Yang et 5 éléments).
Mathématiques chinoises traditionnelles et Théorie « Yin Yang Wu Xing »
Dans le monde réel, nous sommes guidés par certains concepts et phénomènes
tels que «biosphère», «chaîne alimentaire», «équilibre écologique», etc.
Avec la recherche et la pratique mathématiques, en utilisant la théorie
des matrices multilatérales et en analysant les conditions de symétrie et
d’orthogonalité de ce qu'un système stable doit satisfaire, en
particulier, analyser les conditions de base qu'est une procédure de
travail stable qu’un produit de bonne qualité doit satisfaire, Zhang Yingshan a été
inspiré pour trouver des règles et des méthodes, et présenter un modèle logique d'analyse de la stabilité des systèmes complexes -
les systèmes multilatéraux stables. Il y a un certain nombre de méthodes de
raisonnement essentielles sur la base du modèle d'analyse logique stable,
tels que « le raisonnement de transition », « raisonnement par atavisme »,
« raisonnement génétique», etc.
La théorie chinoise ancienne « Yin Yang Wu Xing » a survécu pendant
plusieurs milliers d'années, ce qui tend à prouver qu'elle est raisonnable
dans une certaine mesure.
Si nous considérons ~ comme la relation signifiant « de même catégorie »,
la relation de voisinage → comme « bénéfique, harmonieuse, obéissante,
affectueuse, etc. », et la relation alternative ⇒ comme « nuisible,
conflictuelle, ruineuse, tuant, etc. », alors le modèle d'analyse logique
stable définie est similaire à l'architecture logique du raisonnement de «
Yin Yang Wu Xing ». Les deux «Yin» et «Yang» signifient qu'il y a deux
relations opposées dans le monde: l'harmonie ou l'amour → et le conflit ou
tuer ⇒, ainsi qu'une catégorie d’équivalence générale ~. Il n'y a qu'une
seule des trois relations ~, → et ⇒ entre deux objets à chaque fois.
Un tel raisonnement donne :
Systèmes multilatéraux
Pour un ensemble non vide V, s'il existe au moins une relation de
non-compatibilité, alors il est appelé système multilatéral de la
complexité, ou de manière équivalente, un modèle d'analyse logique des
systèmes complexes.
Supposons qu'il existe des relations d'équivalence, des relations de
voisinage, et des relations d’échange dans le système V, qui satisfont le
raisonnement génétique. Si pour tout x, y ∈ V, il y a au moins une des
trois relations entre x et y, et il n'y a pas x → y et x ⇒ y en même
temps, alors V est appelé un modèle d'analyse logique des systèmes
complexes, ce qui équivaut à l'architecture logique du modèle de
raisonnement de la théorie « Yin Yang » de la Chine ancienne. De toute
évidence, V est un système multilatéral avec deux relations de
non-compatibilité. Ici n’est considéré que ce système multilatéral.
Pour chaque élément x dans un système multilatéral V stable avec deux
relations de non-compatibilité, il existe cinq classes d'équivalence
ci-dessous:
X = {y ∈V | y ~ x}
Xs = {y∈V | x → y}
Xk = {y∈V | x ⇒ y}
Kx = {y∈V | y ⇒ x}
Sx = {y∈V | y → x}
Tout X engendre quelque chose (Xs ≠ Ø), et est engendré par quelque chose
(Sx ≠ Ø); Tout contrôle quelque chose (Xk ≠ Ø), et est contrôlé par
quelque chose (Kx ≠ Ø); c’est-à-dire, une chose surmonte une autre chose
et une chose est vaincue par une autre chose. Le monde V en constante
évolution, suivant les relations: ~, → et ⇒, doit être divisé en cinq
catégories par la relation équivalente ~, appelé « Wu Xing » [cinq
éléments]: le bois (X), le feu (Xs), la terre (Xk), le métal (Kx), l'eau
(Sx). Dans la théorie « Wu Xing » il est dit un « voisin est un ami »: le
bois (X) → feu (Xs) → terre (Xk) → métal (Kx) → eau (Sx) → bois (X), et «
un autre (qu’un voisin) est l'ennemi » : bois (X) ⇒ terre (Xk) ⇒ eau (Sx)
⇒ feu (Xs) ⇒ métal (Kx) ⇒ bois (X). En d'autres termes, le monde V en
constante évolution peut être divisé en cinq catégories:
V = X + Xs + Xk + Kx + Sx
Satisfaisant les relations :
X → Xs → Xk → Kx → Sx → X
et
X ⇒ Xk ⇒ Sx ⇒ Xs ⇒ Kx ⇒ X
où les éléments de la même catégorie sont équivalents les uns aux autres.
Nous pouvons voir, à partir de cela, que l'ancienne théorie chinoise « Yin
Yang Wu Xing » est un modèle d'analyse logique raisonnable pour identifier
la stabilité et la relation des systèmes mathématiques complexes.
Conclusion
Nous nous contenterons de cette introduction… mais cet outil mathématique
permet de faire un pont entre mathématiques occidentales et chinoises et
d’établir par exemple à quel moment utiliser le principe « Xie Qi »
(éliminer l’agent pathogène en excès) et « Bu Qi » (tonifier le Qi du
système) [je vous passe la démonstration!]
Les mathématiques imagées utilisent tout d'abord la méthode de
vérification de la théorie des relations « Yin Yang Wu Xing » pour
expliquer la relation entre le système complexe mathématique et
l'environnement. Deuxièmement, sur la base de la théorie « Yin Yang Wu
Xing », les relations des processus de développement du système complexe
mathématique peuvent être représentées par la relation de voisinage et la
relation alternée de cinq sous-ensembles. Ensuite, un système complexe
mathématique normal peut être représenté comme un système multilatéral
stable dans lequel il y a la relation amoureuse et la relation de mise à
mort et la relation d’équivalence. La relation d'amour en mathématiques
imagées peut être expliquée comme la relation de voisinage, appelée «
Sheng (生) » [donner la vie, vivre, engendrer]. La relation de mise à mort
en mathématiques imagées peut être expliquée comme la relation
alternative, appelée « Ke (克) » [contrôler, restreindre, capturer]. La
relation d’équivalence peut être expliquée par la relation appelée «
Tong-Lei (同类) ». Les contraintes et conversions entre les cinq
sous-ensembles sont équivalentes à un raisonnement sur deux types de
triangle. Ainsi, un système complexe mathématique normal peut être classé
en cinq classes d’équivalence mathématique correspondant à cinq index,
respectivement.
On retrouve l’ébauche de la méthode dans l’ouvrage « les Neuf Chapitres
sur l'art mathématique » (九章算術 ou 九章算术 ou Jiǔzhāng Suànshù est un livre
anonyme chinois de mathématiques, dont les origines remontent à la
dynastie Zhou, et qui fut compilé entre le IIe siècle av. J.-C. et le Ier
siècle av. J.-C. au début de la période Han - 206 av. J.-C. à 220 ap.
J.-C.). L’auteur des Neuf Chapitres décrit une méthode de résolution des
systèmes par manipulations d'une matrice de coefficients pour l'amener à
une forme triangulaire.
En savoir plus sur « les
neuf chapitres »
